מתמטריק
בגרות קיץ 2024 מועד ב׳ – וקטורים בפירמידה שבסיסה ריבועוקטורים 472 · שיעור 34
קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 2

שיעור 34: בגרות קיץ 2024 מועד ב׳ – וקטורים בפירמידה שבסיסה ריבוע

פרק 6 – 10 שאלות בגרות 472 – וקטורים
1נוסח השאלה
2סעיף א – הבעת CE ו־AM, והוכחת ניצבות
3סעיף ב – שיעורי E , C , M
4סעיף ג – שטח המשולש AMC
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCDE שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה M נמצאת על המקצוע EC כך שמתקיים CM = 23CE. AE מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: AB = v , AD = u , AE = w. נתון: |w| = |u|.
א. (1) הביעו את הווקטורים AM , CE באמצעות u , v ו־w. (2) הוכיחו כי AM מאונך ל־CE.
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: האורך של צלע הריבוע ABCD הוא 6, A(0 , 0 , 0). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, הקודקוד D על החלק החיובי של ציר ה־y, והקודקוד E על החלק החיובי של ציר ה־z.
ב. (1) מצאו את שיעורי הקודקודים E ו־C. (2) מצאו את שיעורי הנקודה M.
ג. חשבו את שטח המשולש AMC.
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
סעיף א – הבעת CE ו־AM, והוכחת ניצבות
uvwABCDEM
הפירמידה לפי קנה מידה (צלע 6, גובה 6). בירוק: CE, בסגול: AM, והזווית הישרה ב־M.
(1) בריבוע BC = AD = u, ולכן AC = AB + BC = v + u.
CE = CA + AE
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב CA = −(u + v) , AE = w:
CE = −(u + v) + w = −u − v + w
AM = AC + CM
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת CE ו־AM, והוכחת ניצבות · המשך
AM = AC + CM
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב AC = u + v , CM = 23CE = 23(−u − v + w):
AM = u + v + 23(−u − v + w)
AM = u + v − 23u − 23v + 23w
AM = 13u + 13v + 23w
(2) מה ידוע: בריבוע u ⊥ v; AE מאונך לבסיס, ולכן w ⊥ u ו־w ⊥ v. לכן כל המכפלות המעורבות שוות 0:
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף א – הבעת CE ו־AM, והוכחת ניצבות · המשך
(2) מה ידוע: בריבוע u ⊥ v; AE מאונך לבסיס, ולכן w ⊥ u ו־w ⊥ v. לכן כל המכפלות המעורבות שוות 0:
u·v = 0
📐 וקטורים מאונכים
u·w = 0
v·w = 0
צלעות הריבוע שוות, ו־|w| = |u|. נסמן את האורך המשותף s: |u| = |v| = |w| = s.
נציב AM = 13u + 13v + 23w , CE = −u − v + w:
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a·b = 0
סעיף א – הבעת CE ו־AM, והוכחת ניצבות · המשך
נציב AM = 13u + 13v + 23w , CE = −u − v + w:
AM · CE = (13u + 13v + 23w) · (−u − v + w)
כופלים כל איבר בכל איבר – נשארים רק הריבועים (כל השאר 0):
AM·CE = −13|u|2 − 13|v|2 + 23|w|2
📐 אורך וקטור
נציב |u|2 = |v|2 = |w|2 = s2:
AM·CE = −13s2 − 13s2 + 23s2 = 0
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📐 אורך וקטור
|a|2 = a·a
סעיף א – הבעת CE ו־AM, והוכחת ניצבות · המשך
AM·CE = −13s2 − 13s2 + 23s2 = 0
AM·CE = 0 ⟹ AM ⊥ CE
📐 וקטורים מאונכים
✅ פתרון סופי: (1) CE = −u − v + w , AM = 13u + 13v + 23w
(2) הוכחנו AM·CE = 0
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟺ a·b = 0
סעיף ב – שיעורי E , C , M
(1) B על ציר ה־x במרחק 6 מ־A: B(6 , 0 , 0). D על ציר ה־y: D(0 , 6 , 0). |w| = |u| = 6 ו־E על ציר ה־z:
E(0 , 0 , 6)
C = A + AB + AD
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב A(0 , 0 , 0) , AB = (6 , 0 , 0) , AD = (0 , 6 , 0):
C = (0 , 0 , 0) + (6 , 0 , 0) + (0 , 6 , 0)
C(6 , 6 , 0)
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף ב – שיעורי E , C , M · המשך
C(6 , 6 , 0)
(2) CM = 23CE:
CE = E − C = (0 − 6 , 0 − 6 , 6 − 0)
📐 וקטור בין שתי נקודות
CE = (−6 , −6 , 6)
CM = 23CE
נציב CE = (−6 , −6 , 6):
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ב – שיעורי E , C , M · המשך
נציב CE = (−6 , −6 , 6):
CM = 23(−6 , −6 , 6) = (−4 , −4 , 4)
M = C + CM
נציב C(6 , 6 , 0) , CM = (−4 , −4 , 4):
M = (6 , 6 , 0) + (−4 , −4 , 4)
M = (6 − 4 , 6 − 4 , 0 + 4)
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
סעיף ב – שיעורי E , C , M · המשך
M = (6 − 4 , 6 − 4 , 0 + 4)
M = (2 , 2 , 4)
✅ פתרון סופי: (1) E(0 , 0 , 6) , C(6 , 6 , 0)
(2) M(2 , 2 , 4)
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
סעיף ג – שטח המשולש AMC
בסעיף א הוכחנו AM ⊥ CE, ו־M נמצאת על CE, ולכן AM ⊥ MC: המשולש AMC ישר זווית ב־M, והניצבים הם AM ו־MC.
√24√48ABCDEM
המשולש AMC (בתכלת) לפי קנה מידה; הזווית ב־M ישרה.
AM = (2 , 2 , 4)
📐 אורך וקטור
|AM| = √(4 + 4 + 16) = √24
MC = (6 − 2 , 6 − 2 , 0 − 4) = (4 , 4 , −4)
📐 אורך וקטור
|MC| = √(16 + 16 + 16) = √48
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📐 אורך וקטור
|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
📐 אורך וקטור
|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
סעיף ג – שטח המשולש AMC · המשך
|MC| = √(16 + 16 + 16) = √48
SAMC = |AM| · |MC|2
📐 שטח משולש ישר זווית
נציב |AM| = √24 , |MC| = √48:
SAMC = √24 · √482
√24 · √48 = √1,152 = √(576 · 2) = 24√2
SAMC = 24√22 = 12√2 ≈ 16.97
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
סעיף ג – שטח המשולש AMC · המשך
SAMC = 24√22 = 12√2 ≈ 16.97
✅ פתרון סופי: SAMC = 12√2 ≈ 16.97 יחידות שטח
פירמידה ABCDE שבסיסה ריבוע – שאלה 2

📌 סיכום התשובות

סעיף א
CE = −u − v + w
AM = 13u + 13v + 23w
הוכחה: AM·CE = 0
סעיף ב
E(0 , 0 , 6)
C(6 , 6 , 0)
M(2 , 2 , 4)
סעיף ג
12√2 ≈ 16.97
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא